1. En théorie des nombres et en géométrie algébrique une courbe modulaire désigne la surface de Riemann, ou la courbe algébrique correspondante, construite comme quotient du demi-plan de Poincaré H sous l'action de certains sous-groupes ? d'indice fini dans le groupe modulaire. La courbe obtenue est généralement notée Y(?). On appelle ? le niveau de la courbe Y(?). Depuis Gor? Shimura, on sait que ces courbes admettent des équations à coefficients dans un corps cyclotomique, qui dépend du niveau ?.
2. où ?N(X,Y) désigne le polynôme modulaire correspondant. On appelle courbe modulaire classique la courbe algébrique plane ainsi construite.
3. Cette courbe n'est jamais compacte. Pour obtenir une courbe compacte, il est nécessaire d'adjoindre à Y(?) des points « situés à l'infini ». Il est possible d'obtenir une compactification lisse de Y(?) en n'adjoignant qu'un nombre fini de points. La courbe projective obtenue est généralement notée X(?), et on appelle pointes paraboliques les points ainsi ajoutés. Il est fréquent, en fonction du contexte, d'appeler courbe modulaire la courbe X(?) plutôt que Y(?).
